KOMPOSISI FUNGSI DAN INVERS FUNGSI

 Nama : Syalsa Sabina Zahwa (29)

 Kelas  : X MIPA 1

•> Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

   Fungsi atau pemetaan termasuk ke dalam relasi karena di dalam sebuah 1 fungsi dari himpunan A ke himpunan B terdapat relasi khusus yang memasangkan tiap - tiap anggota yang ada pada himpunan A dengan tiap - tiap anggota pada himpunan B. Agar bisa menyelesaikan soal - soal mengenai fungsi komposisi dan invers tentu kita harus memahami dengan baik konsep ataupun prinsip dasar dari fungsi komposisi dan fungsi invers.

● Fungsi Komposisi 

  Dari dua jenis fungsi f(x) dan g(x) kita bisa membentuk sebuah fungsi baru dengan menggunakan sistem operasi komposisi. Operasi komposisi bisa dilambangkan dengan "o" (komposisi/bundaran), fungsi baru yang bisa kita bentuk dari f(x) dan g(x) adalah :

(g o f) (x) artinya f dimasukkan ke g

(f o g) (x) artinya g dimasukkan ke f

Dari skema rumus di atas, dapat kita ketahui bahawa:

 • Apabila f : A → B ditentukan dengan menggunakan rumus y = f(x)

 • Apabila g : B → C ditentukan dengan menggunakan rumus y = g(x)

 Sehingga, akan kita peroleh hasil fungsi g dan f yaitu:

h(x) = (gof)(x) = g( f(x))

  Dari definisi di atas maka bisa kita simpulkan jika fungsi yang melibatkan fungsi f dan g bisa kita tulis seperti berikut ini:

•》(g o f)(x) = g(f(x))

•》(f o g)(x) = f(g(x))

● Sifat-Sifat Fungsi Komposisi 

Berikut akan kami berikan beberapa sifat dari fungsi komposisi, diantaranya adalah sebagai berikut:

》Apabila f : A → B , g : B → C , h : C → D, maka akan berlaku beberapa sifat seperti:

1. (f o g)(x)≠(g o f)(x). Tidak berlaku sifat komutatif.

2. [f o (g o h)(x)] = [(f o g ) o h (x)]. Akan bersifat asosiatif.

3. Apabila fungsi identitas I(x), maka akan berlaku (f o l)(x) = (l o f)(x) = f(x).

☆ Contoh Soal 1:

Diketahui f(x) = 3x - 4 dan g(x) = 2x, maka tentukanlah rumus (f o g)(x) dan (g o f)(x) ...

Penyelesaian :

(f o g)(x) = g dimasukkan ke f menggantikan x

               = 3(2x) - 4

               = 6x - 4

(g o f)(x) = f dimasukkan ke g menggantikan x

               = 2(3x - 4)

               = 6x - 8

》Soal 2

Jika diketahui f (x) = 3x + 4 dan g (x) = 3x berapa nilai dari (f o g) (2)?

Jawab: 

(f o g) (x) = f (g (x))

                 = 3 (3x) + 4

                 = 9x + 4

(f o g) (2) = 9(2) + 4

                 = 22

● Syarat Fungsi Komposisi 

Contoh Soal :

Misal fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut :

f = {(-1,4), (1,6), (3,3), (5,5)}

g = {(4,5), (5,1), (6,-1), (7,3)}

Tentukan :

a. f o g                                d. (f o g) (2)

b. g o f                                e. (g o f) (1)

c. (f o g) (4)                         f. (g o f) (4)

Penyelesaian :

Pasangan terurut dari fungsi f dan g bisa digambarkan dengan diagram panah berikut ini :

a. (f o g) = {(4,5), (5,6), (6,4), (7,3)}

b. (g o f) = {(-1,5), (1,-1), (3,3), (5,1)}

c. (f o g) (4) = 5

d. (f o g) (2) = tidak didefinisikan

e. (g o f) (1) = -1

》Cara Menentukan Fungsi Bila Fungsi Komposisi dan Fungsi Yang Lain Diketahui

  Misalkan jika fungsi f dan fungsi komposisi (f o g) atau (g o f) telah diketahui maka kita bisa menentukan fungsi g demikian juga sebaliknya.

Contoh Soal :

Misal fungsi komposisi (f o g)(x) = -4x + 4 dan f(x) = 2x + 2

Tentukan fungsi g(x)!

Penyelesaian :

(f o g) (x)    = -4x + 4

f (g (x))       = -4x + 4

2 (g (x)) + 2 = -4x + 4

2 g (x)         = -4x + 2

   g (x)         = -4x + 2

                           2

   g (x)         = -2x + 1

Jadi, fungsi g (x) = -2x + 1

•> Fungsi Invers 

  Apabila fungsi dari himpunan A ke B dinyatakan dengan f, maka invers dari fungsi f merupakan sebuah relasi dari himpunan A ke B. Sehingga, fungsi invers dari f : A -> B adalah f-1 :B -> A. Bisa disimpulkan bahwa daerah hasil dari f-1(x) merupakan daerah asal bagi f(x) begitupun sebaliknya.

》Fungsi invers atau yang juga dikenal sebagai fungsi kebalikan adalah sebuah fungsi yang berkebalikan dari fungsi asalnya.

☆ Sebuah fungsi f mempunyai fungsi invers (kebalikan) f-1 jika f adalah fungsi satu-satu dan fungsi pada (bijektif). Hubungan tersebut bisa dinyatakan seperti berikut:

(f-1)-1 = f

Simplenya, fungsi bijektif berlangsung pada saat jumlah anggota domain sama dengan jumlah anggota kodomain.

Tidak terdapat dua atau lebih domain berbeda dipetakan ke kodomain yang sama. Serta pada setiap kodomain mempunyai pasangan di domain. Perhatikan gambar yang ada di bawah ini:     

  Pemetaan kedua bukan merupakan fungsi bijektif sebab pemetaan tersebut hanya berlangsung fungsi pada.

  Domain d dan e dipetakan ke anggota kodomain yang sama. Pemetaan ketiga bukan fungsi bijektif sebab pemetaan tersebut hanya berlangsung pada fungsi satu-satu. Kodomain 9 tidak mempunyai pasangan pada anggota domain.

Sebagai contoh, f fungsi yang memetakan x ke y, sehingga bisa kita tulisakan menjadi y = f(x), maka f-1 merupakan fungsi yang memetakan y ke x, ditulis x = f-1(y).

Misalnya f : A →B fungsi bijektif. Invers fungsi f merupakan fungsi yang mengawankan pada masing-masing elemen B dengan tepat satu elemen pada A.

Invers fungsi f juga dinyatakan dengan f-1 seperti di bawah ini:

•》Terdapat 3 tahapan untuk menentukan fungsi invers, antara lain:

1.) Ubahlah bentuk y = f(x) menjadi bentuk x = f(y).

2.) Tuliskan x sebagai f-1(y) sehingga f-1(y) = f(y).

3.) Ubahlah variabel y dengan x sehingga akan didapatkan rumus fungsi invers f-1(x).

Dalam fungsi invers ada rumus khusus seperti berikut ini:

•> Fungsi Komposisi 

 Fungsi komposisi bisa kita tuliskan seperti berikut ini:

(f ◦ g)(x) = f (g (x))→ komposisi g (fungsi f bundaran g atau fungsi komposisi dengan g dikerjakan terlebih dahulu daripada f)

(g ◦ f)(x)= g (f (x))→ komposisi f (fungsi g bundaran f atau fungsi komposisi dengan f dikerjakan terlebih dahulu daripada g)

•> Sifat Fungsi Komposisi 

1.) Tidak berlaku sifat komutatif, (f ◦ g)(x) ≠ (g ◦ f)(x).

2.) Berlaku sifat asosiatif, (f ◦(g ◦ h))(x) = ((f ◦ g)◦ h)(x).

3.) Adanya unsur identitas (l)(x), (f ◦ l)(x) = (l ◦ f)(x) = f(x).

》Contoh soal:

Diketahui f(x) = 2x – 1, g(x) = x2 + 2. Maka tentukan:

1. (g ◦ f)(x).

2. (f ◦ g)(x).

3. Apakah berlaku sifat komutatif: g ◦ f = f ◦ g?

Jawab:

(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(2x – 1) = (2x – 1)2 + 2 = 4x2 – 4x + 1 + 2 = 4x2 – 4x + 3

(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x2 + 2) = 2(x2 + 2) – 1 = 4x2 + 4 – 1 = 4x2 + 3

Tidak berlaku sifat komutatif sebab g ◦ f ¹ f ◦ g.

》 Fungsi Invers

1.) f-1 (x) adalah invers dari fungsi f(x)

2.) Menentukan fungsi invers : mengganti f (x)= y = …” menjadi “ f -1 (y)= x = …”

3.) hubungan sifat fungsi invers dengan fungsi komposisi:

1. (f ◦ f-1)(x)= (f -1 ◦ f)(x)= l (x)

2. (f ◦ g)-1 (x)= (g-1 ◦ f-1)(x)

3. (f ◦ g)(x)= h (x)→ f (x)= (h ◦ g -1)(x)

》Contoh Soal Fungsi Invers

1.) Jika diketahui suatu fungsi f (x) = 5x +20, hitunglah fungsi invers f-1 (x)!

Jawab:

Jika fungsi f (x) dinyatakan dalam bentuk y sama dengan fungsi x → f (x) = y, maka:

f (x) = 5x + 20 → y = 5x + 20

  Kemudian, merubah x menjadi f-1 (y), sehingga akan kita dapatkan:

y = 5x + 20

5x = y – 20

x = (y – 20)/5

x = y/5 – 4

f-1 (y) = y/5 – 4

f-1 (x) = x/5 – 4 → sehingga kita dapatkan fungsi invers dari f (x) = 5x + 20

2.) Diberikan dua buah fungsi di mana pada masing-masing f (x) dan g (x) berturut-turut yakni:

f (x) = 3x + 2

g (x) = 2 − x

Maka, tentukan:

a. (f o g) (x)

b. (g o f) (x)

Jawab:

Diketahui:

f (x) = 3x + 2

g (x) = 2 − x

a. (f o g)(x)

“Masukkan g (x) nya ke f (x)”

Sehingga akan kita dapatkan:

(f o g)(x) = f ( g(x) )

= f (2 − x)

= 3 (2 − x) + 2

= 6 − 3x + 2

= − 3x + 8

b. (g o f ) (x)

“Masukkan f (x) nya ke g (x)”

Sehingga akan kita peroleh:

(f o g) (x) = g (f (x) )

= g ( 3x + 2)

= 2 − ( 3x + 2)

= 2 − 3x − 2

= − 3x

3.) Apabila (f o g)(x) = x² + 3x + 4 serta g(x) = 4x – 5. Tentukan nilai dari f(3)!

Jawab:

(f o g)(x) sama dengan x² + 3x + 4

f (g(x)) sama dengan x² + 3x + 4

g(x) sama dengan 3 Jadi,

4x – 5 sama dengan 3

4x sama dengan 8

x sama dengan 2

f (g(x)) = x² + 3x + 4 serta untuk g(x) sama dengan 3 diperoleh x sama dengan 2

Sehingga kita ketahui: f (3) = 2² + 3 . 2 + 4 = 4 + 6 + 4 = 14