Sistem Persamaan Kuadrat- Kuadrat (SPKK)

Nama : SYALSA SABINA ZAHWA 

Kelas  : X MIPA 1

 Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat (SPKK) 

adalah kumpulan persamaan kuadrat yang mempunyai solusi yang sama. Untuk menyelesaikan masalah sistem persamaan linear dan kuadrat, kita harus menguasai tentang nilai "Diskriminan". Nilai atau Diskriminan suatu fungsi kuadrat persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan rumus D = b² - 4ac

Bentuk Umum Sistem Kuadrat dan Kuadrat (SPKK) Persamaan. 

Adapun bentuk umum sistem persamaan kuadrat dan kuadrat dengan variabel x dan y

SPKK { y = px² + qx + r

           { y = ax² + bx + c

Keterangan :

• Variabelnya x dan y

• Koefisiennya a, b, p, q E R

• Konstantanya r, c ER

 Penyelesaian Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat (SPKK)

 • Langkah-langkah menyelesaikan SPKK :

☆ Substitusikan salah satu persamaan ke persamaan lainnya sehingga terbentuk persamaan kuadrat.

☆ Tentukan akar-akar persamaan kuadrat (misal ₁ dan ₂), kemudian substitusikan x1 dan x2 ke persamaan garis untuk memperoleh y1 dan y2.

☆ Himpunan penyelesaian adalah {(x₁, y₁), (x2, y2)}.

 • Jenis-jenis penyelesaian SPKK

SPKK ini dapat dituliskan dalam bentuk (setelah disubstitusikan) : 

(a - p)x² + (b - q)x+ (c - r) = 0

dengan nilai diskriminan : D = b² - 4ac = (b - q)² - 4.(a - p). (c - r)

SPKK memiliki beberapa kemungkinan penyelesaian berdasarkan :

* Jika dilihat dari nilai D. SPKK memiliki beberapa jenis penyelesaian:

i). Jika D > 0, maka SPKK memiliki dua penyelesaian. Secara geometris, kedua kurva berpotongan di dua titik.

ii). Jika D = 0, maka SPKK memiliki satu penyelesaian. Secara geometris, kedua kurva berpotongan di satu titik.

• Jika dilihat dari koefisien dari setiap persamaan

SPKK :{ y = px² + qx + r

             { y = ax² + bx + c

i). Jika a = p dan bq, maka SPKK memiliki dua penyelesaian.

ii). Jika a = p, b= q, dan c = r, maka SPKK tidak mempunyai penyelesaian karena kedua kurva sejajar dan tidak berimpit.

• CONTOH SOAL

1. Diketahui persamaan y = x² dan y = 4x² – 5x. Hitunglah himpunan penyelesaian SPKK tersebut?

Jawaban :  Bagian kuadrat pertama y = x² disubstitusikan ke bagian kuadrat kedua y = 4x² – 5x. Maka hasilnya:

     x² = 4x² – 5x

4x² – x² – 5x = 0

       3x² – 5x = 0

        x(x – 5) = 0

         x = 0 atau x = 5

Nilai x = 0 dan x = 5 kemudian disubstitusikan ke kuadrat bagian pertama y = x². Sehingga,

Untuk x = 0 → y = x²

                           y = 0²

                           y = 0

Untuk x = 5 → y = x²

                           y = 5²

                           y = 25

Jadi himpunan penyelesaian SPKK tersebut ialah {(0, 0), (5, 25)}

2. Tentukan himpunan penyelesaian SPKK jika diketahui persamaan y =  5x² dan y = 6x² – 7x?

Pembahasan : Contoh soal sistem persamaan kuadrat kuadrat ini dapat diselesaikan dengan melakukan substitusi y = 5x² ke y = 6x² – 7x. Untuk itu hasilnya akan menjadi:

               5x² = 6x² – 7x

6x² – 5x² – 7x = 0

          x² – 7x = 0

         x(x – 7) = 0

  x = 0 atau x = 7

Selanjutnya nilai x di atas disubtsitusikan ke persamaan y =  5x². Maka :

Untuk x = 0 → y = 5x²

                      y = 5(0)²

                      y = 0

Untuk x = 7 → y = 5x²

                      y = 5(7)²

                      y = 245

Jadi himpunan penyelesaian SPKK tersebut ialah {(0, 0), (7, 245)}.

3. Tentukan himpunan penyelesaian SPKK jika persamaannya y = -4x² dan y = x² + 4x + 3?

Pembahasan :  Contoh soal sistem persamaan kuadrat kuadrat ini dapat diselesaikan dengan melakukan substitusi y = -4x² ke y = x² + 4x + 3. Untuk itu hasilnya akan menjadi seperti di bawah ini:

                    -4x² = x² + 4x + 3 

x² + 4x² + 4x + 3 = 0

        5x² + 4x + 3 = 0

Langkah selanjutnya menggunakan cara diskriminan untuk menyelesaikan persamaan di atas. Maka:

5x² + 4x + 3 = 0, dimana a = 5, b = 4 dan c = 3

D = b² – 4ac

D = (4)² – 4(5)(3)

D = 16 – 60

D = -44

Jadi himpunan penyelesaian SPKK tersebut ialah {∅} atau himpunan kosong karena D < 1.